Bifurcaciones transcríticas y ciclos límites en un modelo dinámico de competición entre dos especies : una aplicación a la pesquería de "engraulis encrasicholus" de la Región Suratlántica española

Abstract

Proponemos en este trabajo la utilización de la teoría matemática sobre bifurcaciones locales en el análisis de los sistemas dinámicos con aplicación a la pesca, como herramienta importante que revela interesantes comportamientos de las trayectorias del sistema. A grandes rasgos, dado un sistema dinámico que modalice el comportamiento de ciertas variables por ejemplo económicas, biológicas, físicas, etc., la teoría de las bifurcaciones locales estudia para qué valores de los parámetros del sistema se producen cambios cualitativos importantes en la dinámica del mismo. Por cambios cualitativos importantes entenderemos cualquier variación que afecte al número y/o a la estabilidad de los equilibrios estacionarios del sistema o a la aparición de nuevas órbitas cerradas con comportamiento oscilatorio de las que denominamos ciclos límites. Consideramos para su estudio un modelo de competición entre dos poblaciones de pocos, una de las cuales es sometidas explotación. Se realiza en primer lugar un estudio cualitativo de las condiciones necesarias y/o suficientes para la existencia y estabilidad de los puntos de equilibrios del sistema, para pasar en segundo lugar a la detección de bifurcaciones transcríticas, relacionadas con el intercambio de estabilidad entre dos de dichos equilibrios, conforme un parámetro del sistema varía. A continuación se lleva a cabo la detección de bifurcaciones de Hopf, las cuales determinan la aparición de ciclos límites. Finalmente se presenta un ejemplo numérico donde se aplican los resultados a la pesquería de boquerón del litoral Suratlánlico español bajo el supuesto de una interacción en forma de competición con la caballa, presente también en dicha zona costera.